KI trifft Recht – ein Tech-Experiment mit 77.000 Urteilen

[Joshua]

Also ich hatte bis jetzt keine Probleme mit metrischen Räumen mit der euklidischen Norm im Mehrdimensionalen (falls du das meintest), warum auch?

Was meinst du damit, dass du keine "Probleme" hattest? Was genau hast du gefragt?

[Joshua]

Ich nutze privat neben ChatGPT und Perplexity auch Grok.

Grok kannte ich noch nicht, danke. Ich habe es gerade ausprobiert mit dem o.g. Problem euklidischer Distanzen, und es hat mich positiv überrascht.

[Joshua]

PS: Wenn hier gesagt wurde (Anm. Strich), es sei klar, dass die Grafik bei ChatGPT nicht überzeuge, so bedarf das einer Ergänzung: Ich habe hier Grafiken im 2-dimensionalen Raum zur Darstellung euklidischer Distanzen erhalten, die wirklich schlecht waren. Das muss aber nicht sein und ist mE auch nicht "klar". Julius AI zB setzt den Python-Code direkt in ein Diagramm, ein Koordinatensystem usw. um. Man kann direkt Anweisungen geben, wenn die Grafik das mathematische Problem nicht gut genug trifft, es wird dann unmittelbar ein neuer Code erstellt und wieder umgesetzt. Es ist ja umständlich, wenn ich erst den Code rauskopieren muss, um dann in einem ganz anderen Programm die Grafik in Python-Umgebung zu erstellen...

[Strich]

Also ich hatte bis jetzt keine Probleme mit metrischen Räumen mit der euklidischen Norm im Mehrdimensionalen (falls du das meintest), warum auch?

Was meinst du damit, dass du keine "Probleme" hattest? Was genau hast du gefragt?

Hey ChatGPT ich bereite mich auf die Klausur in Analysis 2 vor. Kannst du mir den Satz von der impliziten Funktion beweisen. Wir kennen schon den Satz der Umkehrfunktion

Natürlich, gerne! Wir beweisen den **Satz von der impliziten Funktion** unter der Annahme, dass ihr bereits den **Satz über die Umkehrfunktion** kennt.

---

### **Satz von der impliziten Funktion (Version in ℝⁿ)**

Sei \( F: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^m \) eine stetig differenzierbare Funktion, also \( F \in C^1 \). Sei \( (x_0, y_0) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \) ein Punkt mit
\[
F(x_0, y_0) = 0,
\]
und die partielle Ableitung von \( F \) nach \( y \), also die Jacobi-Matrix \( D_y F(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^{m \times m} \), sei invertierbar.

Dann existiert eine Umgebung \( U \subset \mathbb{R}^n \) von \( x_0 \) und eine stetig differenzierbare Funktion \( \varphi: U \to \mathbb{R}^m \), sodass
\[
F(x, \varphi(x)) = 0 \quad \text{für alle } x \in U,
\]
und \( \varphi(x_0) = y_0 \).

---

### **Beweis (mit Hilfe des Satzes über die Umkehrfunktion)**

**Idee:** Wir zeigen, dass sich lokal um den Punkt \( (x_0, y_0) \) die Gleichung \( F(x, y) = 0 \) durch eine Funktion \( y = \varphi(x) \) lösen lässt, indem wir eine geeignete Funktion konstruieren, auf die wir den Satz über die Umkehrfunktion anwenden können.

#### **Schritt 1: Konstruktion einer Hilfsfunktion**

Definiere die Funktion
\[
G(x, y) := (x, F(x, y)) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m.
\]
Dann ist \( G: \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}^{n+m} \) eine \( C^1 \)-Funktion, weil \( F \in C^1 \).

Betrachte den Punkt \( (x_0, y_0) \), bei dem \( F(x_0, y_0) = 0 \). Dann gilt:
\[
G(x_0, y_0) = (x_0, 0).
\]

#### **Schritt 2: Jacobi-Matrix von G und Invertierbarkeit**

Die Jacobi-Matrix \( DG(x, y) \in \mathbb{R}^{(n+m)\times(n+m)} \) hat Blockstruktur:
\[
DG(x, y) =
\begin{pmatrix}
I_n & 0 \\
D_x F(x, y) & D_y F(x, y)
\end{pmatrix},
\]
wobei \( I_n \) die \( n \times n \)-Einheitsmatrix ist.

Nun gilt: Wenn \( D_y F(x_0, y_0) \) invertierbar ist, dann ist auch die Gesamtmatrix \( DG(x_0, y_0) \) invertierbar (das lässt sich mit der Blockmatrix-Determinantenregel zeigen).

#### **Schritt 3: Anwendung des Satzes über die Umkehrfunktion**

Da \( DG(x_0, y_0) \) invertierbar ist, liefert der Satz über die Umkehrfunktion, dass \( G \) lokal um \( (x_0, y_0) \) ein Diffeomorphismus ist, also lokal invertierbar mit stetig differenzierbarer Inversen.

Das heißt: Es existiert eine Umgebung \( W \subset \mathbb{R}^{n+m} \) von \( (x_0, y_0) \), sowie eine Umgebung \( V \subset \mathbb{R}^{n+m} \) von \( (x_0, 0) \), so dass
\[
G: W \to V \quad \text{ein Diffeomorphismus ist}.
\]

#### **Schritt 4: Implizite Funktion definieren**

Da \( G \) umkehrbar ist, können wir die Umkehrabbildung
\[
G^{-1}: V \to W, \quad (x, z) \mapsto (x, \varphi(x, z)),
\]
in der Nähe von \( z = 0 \) betrachten. Speziell: Wir setzen \( z = 0 \), denn \( F(x, y) = 0 \) entspricht \( G(x, y) = (x, 0) \).

Daher definieren wir
\[
\varphi(x) := \text{der zweite Komponentenwert von } G^{-1}(x, 0).
\]
Dann ist
\[
G^{-1}(x, 0) = (x, \varphi(x)) \quad \Rightarrow \quad G(x, \varphi(x)) = (x, F(x, \varphi(x))) = (x, 0).
\]
Das heißt:
\[
F(x, \varphi(x)) = 0,
\]
und da \( G^{-1} \) differenzierbar ist, ist auch \( \varphi \in C^1 \). Schließlich gilt \( \varphi(x_0) = y_0 \), weil \( G(x_0, y_0) = (x_0, 0) \).

---

### **Fazit**

Damit ist gezeigt, dass unter den gegebenen Voraussetzungen \( F(x, y) = 0 \) lokal nach \( y = \varphi(x) \) auflösbar ist, wobei \( \varphi \in C^1 \) ist. Q.E.D.

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Möchtest du auch eine Version für \( m = 1 \), also wenn \( F: \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R} \) ist, oder lieber ein Beispiel zum Satz?

Oder, wenn es um einen mehrdimesionalen metrischen Raum (hier als Beispiel der metrische Raum von Funktionen) gehen soll:

Okay, ich würde gerne noch eine Grundlage klären, kannst du mir den Satz beweisen, dass der metrische Raum (\Xi, d_{\Xi}) von Funktionen cauchy-vollständig ist?

Klar! Um den Satz zu beweisen, dass ein **Funktionalraum** \( (\Xi, d_\Xi) \) **vollständig** ist, müssen wir zunächst präzisieren, **welcher** Raum gemeint ist. In vielen Fällen bezeichnet man mit \( \Xi \) einen Raum stetiger Funktionen mit einer geeigneten Metrik.

Ein sehr häufiger Fall ist der folgende:

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### **Satz (Vollständigkeit des Raums stetiger Funktionen)**

Sei \( (X, d) \) ein kompakter metrischer Raum. Dann ist der Raum
\[
\Xi := C(X, \mathbb{R}) = \{ f: X \to \mathbb{R} \mid f \text{ stetig} \}
\]
mit der Supremumsnorm
\[
\|f - g\|_\infty := \sup_{x \in X} |f(x) - g(x)|
\]
beziehungsweise der Metrik
\[
d_\Xi(f, g) := \|f - g\|_\infty
\]
**vollständig**, d.h., jeder Cauchy-Folge \( (f_n) \subset \Xi \) konvergiert gegen eine Funktion \( f \in \Xi \).

---

### **Beweis (Vollständigkeit von \( (C(X), \|\cdot\|_\infty) \))**

#### **1. Voraussetzung: Cauchy-Folge in \( C(X) \)**

Sei \( (f_n) \subset \Xi \) eine **Cauchy-Folge**, also gilt:
\[
\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall m, n \geq N: \|f_n - f_m\|_\infty < \varepsilon.
\]
Insbesondere: Für jedes \( x \in X \) ist
\[
|f_n(x) - f_m(x)| \leq \|f_n - f_m\|_\infty < \varepsilon,
\]
also ist \( (f_n(x)) \subset \mathbb{R} \) eine Cauchy-Folge in \( \mathbb{R} \). Da \( \mathbb{R} \) vollständig ist, existiert der Grenzwert
\[
f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x).
\]
So ist \( f: X \to \mathbb{R} \) punktweise definiert.

#### **2. Zeige: Gleichmäßige Konvergenz**

Da \( (f_n) \) eine Cauchy-Folge bzgl. der Supremumsnorm ist, folgt, dass \( f_n \to f \) **gleichmäßig** konvergiert.

**Begründung:** Für \( \varepsilon > 0 \) gibt es \( N \in \mathbb{N} \), sodass für \( n, m \geq N \)
\[
\sup_{x \in X} |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon.
\]
Fixiere \( m \geq N \) und lasse \( n \to \infty \). Dann folgt:
\[
\sup_{x \in X} |f(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon,
\]
also ist \( f_n \to f \) gleichmäßig.

#### **3. Stetigkeit des Grenzwerts**

Da jede \( f_n \in C(X) \) stetig ist, und \( f_n \to f \) gleichmäßig, folgt nach einem Standardsatz der Analysis:
> **Gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen konvergiert gegen eine stetige Funktion.**

Also ist \( f \in C(X) \).

#### **4. Fazit**

Die Cauchy-Folge \( (f_n) \) in \( (C(X), \|\cdot\|_\infty) \) konvergiert gegen ein \( f \in C(X) \), also ist der Raum vollständig.

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### **Zusatz: Warum Kompaktheit von \( X \) wichtig ist**

Die Supremumsnorm ist nur dann **tatsächlich eine Norm**, wenn das Supremum
\[
\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|
\]
endlich ist. Wenn \( X \) nicht kompakt ist, kann es stetige, aber unbeschränkte Funktionen geben, sodass das Supremum unendlich wird. In vielen Anwendungen betrachtet man dann statt \( C(X) \) den Raum \( C_b(X) \) der **beschränkten stetigen Funktionen**, um Vollständigkeit zu sichern.

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Wenn du magst, kann ich dir das Ganze noch mit einem konkreten Beispiel oder einem Diagramm illustrieren. Möchtest du auch wissen, wie das mit anderen Metriken (z. B. \( L^p \)-Räume) aussieht?

Kannst du so in einen beliebeigen Latex-Editor (ich verwende Overleaf) einwerfen und dir mit schönen Matheausdrücken anschauen.

Die Beweise sind manchmal zu knapp (so im ersten Beispiel), manchmal zu kompliziert, sie sind im ersten Fall aber immer nah dran und im zweiten Fall einfach nur ein bisschen zu viel.

[Strich]

PS: Wenn hier gesagt wurde (Anm. Strich), es sei klar, dass die Grafik bei ChatGPT nicht überzeuge, so bedarf das einer Ergänzung: Ich habe hier Grafiken im 2-dimensionalen Raum zur Darstellung euklidischer Distanzen erhalten, die wirklich schlecht waren. Das muss aber nicht sein und ist mE auch nicht "klar". Julius AI zB setzt den Python-Code direkt in ein Diagramm, ein Koordinatensystem usw. um. Man kann direkt Anweisungen geben, wenn die Grafik das mathematische Problem nicht gut genug trifft, es wird dann unmittelbar ein neuer Code erstellt und wieder umgesetzt. Es ist ja umständlich, wenn ich erst den Code rauskopieren muss, um dann in einem ganz anderen Programm die Grafik in Python-Umgebung zu erstellen...

"Klar" ist das für Leute, die ChatGPT nutzen imho. Aber danke für den tipp mit Julius AI. Das schaue ich mir gerne an

Btw: Was ist dein konkretes Problem mit ChatGPT?

Ich mein, euklidische Distanzen im mehrdimensionalen ist ... Grundkurs Mathe Algebra. jeder der schon mal einen Vektor in der Hand hatte, macht das:

Sei \vec{v}=(x,y,z)^T dann ist die "euklidische Distanz" nichts anderes als (in diesem Beispiel \mathbb{R}^3): |\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Das ist jetzt keine Hexerei.

[Joshua]

Mein Problem ist, dass ich zwischen normativen Fragen und mathematischer Veranschaulichung hin- und herwechseln möchte (in einem Programm).
Also z.B. ist es für mich eine Leitfrage, wie ich bei einem zwei-dimensionalen Präferenzproblem die Distanz aller Abstimmenden zu bestimmten vorgegebenen "policy alternatives" minimiere. Das ist erst einmal normativ und beginnt schon damit, dass ich die euklidische Distanz nicht zwingend als das geeignete Distanzmaß voraussetze. Ich könnte z.B. auch die sog. Manhatten-Distanz verwenden. Welches Distanzmaß ich nun für welches Präferenzproblem passender, um einen "Konsens" zu finden? Das ist eine alles andere als einfache Frage im normativen Sinn. Dann möchte ich weitermachen und mir die Distanzen in einem Koordinatensystem veranschaulichen lassen. Das kann ChatGPT kaum bis gar nicht. Also muss ich z.B. zu Julius wechseln, das mit einiger Anleitung eine Darstellung hinbekommt. Ich kann dann aber auf Grundlage dieser Veranschaulichung das Problem dort nicht weiter eruieren, weil Julius von den normativen Fragen wenig versteht...

[Strich]

Das ist theoretisch mathematisch wahrscheinlich kein Problem. Das sieht aber eher nach Variationenrechnung aus. Da dürftest du eher fündig werden, aber das ist jetzt wirklich Stoff aus dem Studium.

[Joshua]

Meinst du die Euler-Lagrange-Gleichung?

δ I ( x , δ x ) = 0

Hift mir doch nicht wirklich weiter bei meinem Problem...

Aber unabhängig davon: Mir geht es ja eher um die Grundproblematik, nichts zu haben, was normative (politikwissenschaftliche) Fragen gleich gut kann wie mathematische Veranschaulichung....

[Schnitte]

Schonmal mit Advanced Data Analysis versucht? Das ist eine Funktionalität in ChatGPT, die innerhalb der Konversation hochgeladene Dateien mit quantitativen Daten (in allen möglichen Formaten: CSV, Excel, ZIP,…) öffnen, auf Prompt hin geeigneten Python-Code (mitsamt gängigen Bibliotheken wie z.B. Pandas) generieren und diesen auch gleich selber ausführen kann, um damit irgendwelche Sachen mit den Daten anzustellen. Dir Ergebnisse kann man sich dann auch als herunterladbare Datei exportieren. Nachteil: In der kostenfreien Variante von ChatGPT ist die Zahl der Interaktionen mit dieser Funktion stark limitiert - das wird erst mit einem Plus-Konto richtig nützlich.

[Strich]

Meinst du die Euler-Lagrange-Gleichung?

δ I ( x , δ x ) = 0

Hift mir doch nicht wirklich weiter bei meinem Problem...

Aber unabhängig davon: Mir geht es ja eher um die Grundproblematik, nichts zu haben, was normative (politikwissenschaftliche) Fragen gleich gut kann wie mathematische Veranschaulichung....

Die Euler Lagrange Gleichung ist im Grunde die allgemeine Bestimmungsgleichung für stationäre Zustände von folgendem Integral:

S[y] := \int_{t_0}^T L(t, y(t), y'(t)) dt für das Gebiet D(\Omega) = C^{\infty}_c(t_0,T)
Das sieht m.E. einfacher aus, als die Wikipediadefinition, die noch etwas allgemeiner ist. (einfach mal von chatgpt anzeigen lassen)
Ich weiß aber nicht, ob das was du machen willst, mit Euler - Lagrange ginge. Ich kenne das nur für Trajektorieprobleme ^^. für normative Fragen bin ich bei dir, das wird mit chatgpt nichts. Ich benutzte das in dieser Hinsicht im Wesentlichen als Nachschlagewerk.

[Joshua]

Strich, mein Fall ist wohl trivialer, als unsere bisherige Diskussion vermuten lässt.
Also, ich nehme schlicht einen 2-dimensionalen Raum, mal ein "entpolitisiertes" Beispiel: Eine Gruppe von 10 Leuten entscheidet, in welchen Kinofilm sie gehen, in folgenden Dimensionen: Das eine ist die Länge des Films, das andere sein Anspruch (Cineastenfilm vs. Unterhaltsfilm). Tragen wir die Länge auf der x-Achse und das Anspruchsniveau aufsteigend auf der y-Achse ein. BEIDE Skalen 0-10. Jetzt gibt jeder seinen sog. Idealpunkt an. ZB: Ein Cineast, der auf relative lange und hochanspruchsvolle Filme steht: (8; 10). Jemand, der auf relativ lange, hirnlose Action-Blockbuster steht: (7; 2) usw. Alle werten entsprechend. Jetzt kommen sie am Kino an, und es laufen 2 Filme: Ein relativ anspruchvoller, aber eher kurzer Film (3; 8); und ein langer, nicht ganz blödmachender Blockbuster (7; 4). Jetzt will ich in Auswertung aller Infos im mehrdimensionalen Raum entscheiden, welcher Film dem Gruppenwillen am ehesten entspricht. Ich minimiere dazu die summierten Distanzen aller Teilnehmerpräferenzen {p1, p2...pn} zu den beiden Titeln und schaue, für welchen Titel die summierten Distanzen geringer sind. Nur: Je nachdem, welche Distanz ich verwende, kann das zu sehr unterschiedlichen Ergebnissen führen, etwa schon bei den beiden klassischen Distanzen, Manhatten [mit d ( A , B ) = | A 1 − B 1 | + | A 2 − B 2 |] versus euklidisch. Welches Maß ist gerechter und warum? Und wie kann ich die Unterschiede in MEINEM Raum möglichst allgemeingültig, also für alle möglichen Präferenzwerte der 10 Teilnehmer im beschriebenen Raum erfassen/beschreiben?

[Schnitte]

Dieses Problem hat Ähnlichkeiten mit der linearen Regression, wo ja die Gerade gesucht wird, deren Summe der quadrierten Abstände zu den einzelnen Beobachtungen minimiert ist. Es wird also der euklidische Abstand genommen, nicht der Manhattan-Abstand, und das auch noch quadriert. Die Gründe hierfür kenne ich nicht, aber ich nehme an, es wird gute methodische Gründe dafür geben.

[Strich]

Das hat irgendwas mit dem totalen Differenzial zu tun. Müsste man mal Gauss fragen ^^

[Joshua]

Ich hatte ja 2 Fragen mit drin. Könntet Ihr erst einmal etwas zu meiner normativen Frage (euklidisch vs. Manhatten) sagen, bezogen auf das Beispiel?

[Strich]

Welches Maß ist gerechter und warum?

Definitiv die euklidische Norm gegenüber der Manhatten-Norm. Man müsste mal noch überlegen ob die Supremumsnorm ( ||f||_\infty := sup\limits_{x\in M}||f(x)||_Y) nicht noch besser wäre, aber da hab ich grad keinen Nerv für ^^
Die euklidische Norm ist gegenüber der Manhattennorm wegunabhängig. Sie ist glatt, was für dich besonders bedeutsam ist, da du ja irgendwas optimieren willst. Du hast also irgendeine Verteilungsfunktion f(x_1,x_2, ... ,x_n) und du willst am Ende ja irgendwie \nabla f = 0 lösen. Das wird mit Manhatten nichts.