Jurawelt-Forum

Strich hat geschrieben: ↑Samstag 3. Mai 2025, 17:26
Also ich hatte bis jetzt keine Probleme mit metrischen Räumen mit der euklidischen Norm im Mehrdimensionalen (falls du das meintest), warum auch?

Schnitte hat geschrieben: ↑Samstag 3. Mai 2025, 10:56 Ich nutze privat neben ChatGPT und Perplexity auch Grok.

Joshua hat geschrieben: ↑Samstag 3. Mai 2025, 19:52

Strich hat geschrieben: ↑Samstag 3. Mai 2025, 17:26
Also ich hatte bis jetzt keine Probleme mit metrischen Räumen mit der euklidischen Norm im Mehrdimensionalen (falls du das meintest), warum auch?

Was meinst du damit, dass du keine "Probleme" hattest? Was genau hast du gefragt?

Strich hat geschrieben:Hey ChatGPT ich bereite mich auf die Klausur in Analysis 2 vor. Kannst du mir den Satz von der impliziten Funktion beweisen. Wir kennen schon den Satz der Umkehrfunktion

ChatGPT 4o hat geschrieben: Natürlich, gerne! Wir beweisen den **Satz von der impliziten Funktion** unter der Annahme, dass ihr bereits den **Satz über die Umkehrfunktion** kennt.

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### **Satz von der impliziten Funktion (Version in ℝⁿ)**

Sei \( F: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^m \) eine stetig differenzierbare Funktion, also \( F \in C^1 \). Sei \( (x_0, y_0) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \) ein Punkt mit
\[
F(x_0, y_0) = 0,
\]
und die partielle Ableitung von \( F \) nach \( y \), also die Jacobi-Matrix \( D_y F(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^{m \times m} \), sei invertierbar.

Dann existiert eine Umgebung \( U \subset \mathbb{R}^n \) von \( x_0 \) und eine stetig differenzierbare Funktion \( \varphi: U \to \mathbb{R}^m \), sodass
\[
F(x, \varphi(x)) = 0 \quad \text{für alle } x \in U,
\]
und \( \varphi(x_0) = y_0 \).

---

### **Beweis (mit Hilfe des Satzes über die Umkehrfunktion)**

**Idee:** Wir zeigen, dass sich lokal um den Punkt \( (x_0, y_0) \) die Gleichung \( F(x, y) = 0 \) durch eine Funktion \( y = \varphi(x) \) lösen lässt, indem wir eine geeignete Funktion konstruieren, auf die wir den Satz über die Umkehrfunktion anwenden können.

#### **Schritt 1: Konstruktion einer Hilfsfunktion**

Definiere die Funktion
\[
G(x, y) := (x, F(x, y)) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m.
\]
Dann ist \( G: \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}^{n+m} \) eine \( C^1 \)-Funktion, weil \( F \in C^1 \).

Betrachte den Punkt \( (x_0, y_0) \), bei dem \( F(x_0, y_0) = 0 \). Dann gilt:
\[
G(x_0, y_0) = (x_0, 0).
\]

#### **Schritt 2: Jacobi-Matrix von G und Invertierbarkeit**

Die Jacobi-Matrix \( DG(x, y) \in \mathbb{R}^{(n+m)\times(n+m)} \) hat Blockstruktur:
\[
DG(x, y) =
\begin{pmatrix}
I_n & 0 \\
D_x F(x, y) & D_y F(x, y)
\end{pmatrix},
\]
wobei \( I_n \) die \( n \times n \)-Einheitsmatrix ist.

Nun gilt: Wenn \( D_y F(x_0, y_0) \) invertierbar ist, dann ist auch die Gesamtmatrix \( DG(x_0, y_0) \) invertierbar (das lässt sich mit der Blockmatrix-Determinantenregel zeigen).

#### **Schritt 3: Anwendung des Satzes über die Umkehrfunktion**

Da \( DG(x_0, y_0) \) invertierbar ist, liefert der Satz über die Umkehrfunktion, dass \( G \) lokal um \( (x_0, y_0) \) ein Diffeomorphismus ist, also lokal invertierbar mit stetig differenzierbarer Inversen.

Das heißt: Es existiert eine Umgebung \( W \subset \mathbb{R}^{n+m} \) von \( (x_0, y_0) \), sowie eine Umgebung \( V \subset \mathbb{R}^{n+m} \) von \( (x_0, 0) \), so dass
\[
G: W \to V \quad \text{ein Diffeomorphismus ist}.
\]

#### **Schritt 4: Implizite Funktion definieren**

Da \( G \) umkehrbar ist, können wir die Umkehrabbildung
\[
G^{-1}: V \to W, \quad (x, z) \mapsto (x, \varphi(x, z)),
\]
in der Nähe von \( z = 0 \) betrachten. Speziell: Wir setzen \( z = 0 \), denn \( F(x, y) = 0 \) entspricht \( G(x, y) = (x, 0) \).

Daher definieren wir
\[
\varphi(x) := \text{der zweite Komponentenwert von } G^{-1}(x, 0).
\]
Dann ist
\[
G^{-1}(x, 0) = (x, \varphi(x)) \quad \Rightarrow \quad G(x, \varphi(x)) = (x, F(x, \varphi(x))) = (x, 0).
\]
Das heißt:
\[
F(x, \varphi(x)) = 0,
\]
und da \( G^{-1} \) differenzierbar ist, ist auch \( \varphi \in C^1 \). Schließlich gilt \( \varphi(x_0) = y_0 \), weil \( G(x_0, y_0) = (x_0, 0) \).

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### **Fazit**

Damit ist gezeigt, dass unter den gegebenen Voraussetzungen \( F(x, y) = 0 \) lokal nach \( y = \varphi(x) \) auflösbar ist, wobei \( \varphi \in C^1 \) ist. Q.E.D.

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Möchtest du auch eine Version für \( m = 1 \), also wenn \( F: \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R} \) ist, oder lieber ein Beispiel zum Satz?

Strich hat geschrieben:Okay, ich würde gerne noch eine Grundlage klären, kannst du mir den Satz beweisen, dass der metrische Raum (\Xi, d_{\Xi}) von Funktionen cauchy-vollständig ist?

ChatGPT 4o hat geschrieben:Klar! Um den Satz zu beweisen, dass ein **Funktionalraum** \( (\Xi, d_\Xi) \) **vollständig** ist, müssen wir zunächst präzisieren, **welcher** Raum gemeint ist. In vielen Fällen bezeichnet man mit \( \Xi \) einen Raum stetiger Funktionen mit einer geeigneten Metrik.

Ein sehr häufiger Fall ist der folgende:

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### **Satz (Vollständigkeit des Raums stetiger Funktionen)**

Sei \( (X, d) \) ein kompakter metrischer Raum. Dann ist der Raum
\[
\Xi := C(X, \mathbb{R}) = \{ f: X \to \mathbb{R} \mid f \text{ stetig} \}
\]
mit der Supremumsnorm
\[
\|f - g\|_\infty := \sup_{x \in X} |f(x) - g(x)|
\]
beziehungsweise der Metrik
\[
d_\Xi(f, g) := \|f - g\|_\infty
\]
**vollständig**, d.h., jeder Cauchy-Folge \( (f_n) \subset \Xi \) konvergiert gegen eine Funktion \( f \in \Xi \).

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### **Beweis (Vollständigkeit von \( (C(X), \|\cdot\|_\infty) \))**

#### **1. Voraussetzung: Cauchy-Folge in \( C(X) \)**

Sei \( (f_n) \subset \Xi \) eine **Cauchy-Folge**, also gilt:
\[
\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall m, n \geq N: \|f_n - f_m\|_\infty < \varepsilon.
\]
Insbesondere: Für jedes \( x \in X \) ist
\[
|f_n(x) - f_m(x)| \leq \|f_n - f_m\|_\infty < \varepsilon,
\]
also ist \( (f_n(x)) \subset \mathbb{R} \) eine Cauchy-Folge in \( \mathbb{R} \). Da \( \mathbb{R} \) vollständig ist, existiert der Grenzwert
\[
f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x).
\]
So ist \( f: X \to \mathbb{R} \) punktweise definiert.

#### **2. Zeige: Gleichmäßige Konvergenz**

Da \( (f_n) \) eine Cauchy-Folge bzgl. der Supremumsnorm ist, folgt, dass \( f_n \to f \) **gleichmäßig** konvergiert.

**Begründung:** Für \( \varepsilon > 0 \) gibt es \( N \in \mathbb{N} \), sodass für \( n, m \geq N \)
\[
\sup_{x \in X} |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon.
\]
Fixiere \( m \geq N \) und lasse \( n \to \infty \). Dann folgt:
\[
\sup_{x \in X} |f(x) - f_m(x)| \leq \varepsilon,
\]
also ist \( f_n \to f \) gleichmäßig.

#### **3. Stetigkeit des Grenzwerts**

Da jede \( f_n \in C(X) \) stetig ist, und \( f_n \to f \) gleichmäßig, folgt nach einem Standardsatz der Analysis:
> **Gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen konvergiert gegen eine stetige Funktion.**

Also ist \( f \in C(X) \).

#### **4. Fazit**

Die Cauchy-Folge \( (f_n) \) in \( (C(X), \|\cdot\|_\infty) \) konvergiert gegen ein \( f \in C(X) \), also ist der Raum vollständig.

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### **Zusatz: Warum Kompaktheit von \( X \) wichtig ist**

Die Supremumsnorm ist nur dann **tatsächlich eine Norm**, wenn das Supremum
\[
\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|
\]
endlich ist. Wenn \( X \) nicht kompakt ist, kann es stetige, aber unbeschränkte Funktionen geben, sodass das Supremum unendlich wird. In vielen Anwendungen betrachtet man dann statt \( C(X) \) den Raum \( C_b(X) \) der **beschränkten stetigen Funktionen**, um Vollständigkeit zu sichern.

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Wenn du magst, kann ich dir das Ganze noch mit einem konkreten Beispiel oder einem Diagramm illustrieren. Möchtest du auch wissen, wie das mit anderen Metriken (z. B. \( L^p \)-Räume) aussieht?

Joshua hat geschrieben: ↑Samstag 3. Mai 2025, 19:56 PS: Wenn hier gesagt wurde (Anm. Strich), es sei klar, dass die Grafik bei ChatGPT nicht überzeuge, so bedarf das einer Ergänzung: Ich habe hier Grafiken im 2-dimensionalen Raum zur Darstellung euklidischer Distanzen erhalten, die wirklich schlecht waren. Das muss aber nicht sein und ist mE auch nicht "klar". Julius AI zB setzt den Python-Code direkt in ein Diagramm, ein Koordinatensystem usw. um. Man kann direkt Anweisungen geben, wenn die Grafik das mathematische Problem nicht gut genug trifft, es wird dann unmittelbar ein neuer Code erstellt und wieder umgesetzt. Es ist ja umständlich, wenn ich erst den Code rauskopieren muss, um dann in einem ganz anderen Programm die Grafik in Python-Umgebung zu erstellen...

Joshua hat geschrieben: ↑Sonntag 4. Mai 2025, 15:33 Meinst du die Euler-Lagrange-Gleichung?

δ I ( x , δ x ) = 0

Hift mir doch nicht wirklich weiter bei meinem Problem...

Aber unabhängig davon: Mir geht es ja eher um die Grundproblematik, nichts zu haben, was normative (politikwissenschaftliche) Fragen gleich gut kann wie mathematische Veranschaulichung....

Welches Maß ist gerechter und warum?